Titik dalam Grafika Komputer bisa didefinisikan sebagai suatu posisi tertentu dalam
suatu sistem koordinat. Sistem koordinat yang dipakai bisa Polar Coordinates atau
Cartesian Coordinates. Biasanya dalam pemrograman grafis, yang paling umum
digunakan adalah Cartesian Coordinates.
Dalam Cartesian Coordinates, titik didefinisikan sebagai kombinasi dua bilangan yang
menentukan posisi tersebut dalam koordinat x dan y (2D)
Contoh Penerapan
Jika kita ingin menempatkan titiktitik A(2,4), B(1,1), C(4,1.5), D(4,2), E(–4,3)
Kita bisa menggambarkan sebagai berikut:
GAMBAR 1 : TITIK DALAM CARTESIAN COORDINATESAda 2 definisi
koordinat dalam komputer terutama dalam Sistem Operasi Windows, yaitu Screen
Coordinate, dan Cartesian Coordinate, keduanya sering membingungkan. Untuk lebih
jelasnya mari kita lihat gambar berikut:Screen Coordinat es
Cart esian Coordinat es
GAMBAR 2 : PERBEDAAN SCREEN DAN CARTESIAN COORDINATES
Prinsipnya, karena monitor didesain untuk menggambar dari atas ke bawah, maka sumbu
y pada Screen Coordinates dan Cartesian Coordinates berbeda arah, untuk Screen
Coordinates, sumbu Y arahnya ke bawah, sedangkan pada Cartesian Coordinates, sumbu
Y arahnya ke atas. Biasanya dalam rendering pipeline, hal yang terakhir dilakukan
adalah mengkonversi Cartesian Coordinates ke Screen Coordinates.
Dalam Sistem Operasi Linux, koordinat yang dipakai antara Cartesian dan Screen sama,
yaitu Y positif ke atas.
Untuk koordinate 3D, sama dengan 2D, hanya saja ditambah 1 sumbu yaitu sumbu z
(axisz). Ada beberapa cara untuk menggambarkan sumbu X, Y dan Z, ini. Pertama
dengan sumbu z mengarah ke atas(gambar 3).
GAMBAR 3 : KOORDINAT DENGAN Z MENGARAH KE ATAS
dan koordinat dengan koordinat y mengarak ke atas.X
GAMBAR 4 : KOORDINAT DENGAN Y MENGARAH KE ATAS
2. Garis
Umumnya persamaan garis lurus pada koordinat kartesius diwujudkan dalam
persamaan garis : y=m.x+b
jika dimisalkan pada dua titik(x0,y0 dan x1,y1) akan dibuat sebuah garis lurus, kita dapat
menentukan nilai “m' dan “b” dengan persamaan berikut:
y1y0
m= ______
x1x0
b= y1m.x1
algoritma untuk menggambar garis pada komputer didasarkan pada dua persamaan di
atas. dimana m adalah gradien atau kemiringan garis tersebut.
1. Algoritma digital differential analyzer(DDA),
Prinsip algoritma ini adalah mengambil nilai integer terdekat dengan jalur garis
berdasarkan atas sebuah titik yang telah ditentukan sebelumnya(titik awal garis).
Algoritma pembentukan garis DDA:
1. Tentukan dua titik yang akan dihubungkan dalam pembentukan garis.
2. Tentukan salah satu titik sebagai awal(x0,y0) dan titik akhir(x1,y1).
3. Hitung dx=x1x0, dan dy= y1y0.4. Tentukan langkah, yaitu dengan cara jarak maksimum jumlah penambahan nilai
x maupun nilai y, dengan cara:
Bila nilai absolut dari dx lebih besar dari absolut dy, maka langkah= absolut
dari dx.
Bila tidak maka langkah= absolutdari dy
5. Hitung penambahan koordinat pixel yaitu x_increment=dx/langkah, dan
y_increment=dy/langkah
6. Koordinat selanjutnya (x+x_increment, y+y_increment)
7. Posisi pixel pada layar ditentukan dengan pembulatan nilai koordinat tersebut.
8. Ulangi nomor 6 dan 7 untuk menentukan posisi pixel selanjutnya,sampai x=x1
dan y=y1.
Contoh Prosedur DDA dalam pascal:
uses graph,crt;
{tambahkan pada bagian ini prosedur penginisialisasian device,
lihat pada bab 1}
procedure drawLine(xstart,ystart,xend,yend:integer);
var
step,k:integer;
dx,dy:real;
x_inc,y_inc,x,y:real;
begin
dx:=xend-xstart;
dy:=yend-ystart;
x:=xstart;
y:=ystart;
if abs(dx) > abs(dy) then
step:=round(abs(dx))
else
step:=round(abs(dy));
x_inc:=dx/step;
y_inc:=dy/step;
putPixel(round(x),round(y),30);
for k:=1 to step dobegin
x:=x+x_inc;
y:=y+y_inc;
putPixel(round(x),round(y),30);
end;
end;
begin
init;
{menggambar garis dari titik 10,10 ke 500,10}
drawLine(10,10,500,10);
readkey;
destroy;
end.
2. Algoritma garis Bressenham
Tidak seperti Algoritma DDA, Algoritma Bressenham tidak membulatkan nilai
posisi pixel setiap waktu. Algoritma Bressenham hanya menggunakan
penambahan nilai integer yang juga dapat diadaptasi untuk menggambar
lingkaran.
Berikut ini langkah langkah untuk membentuk garis menurut algoritma
Bressenham:
1. Tentukan dua titik yang akan dihubungkan
2. Tentukan salah satu titik di sebelah kiri sebagai titik awal yaitu(x0,y0) dan
titik lainnya sebagai titik akhir(x1,y1).
3. Hitung dx,dy,2dx dan 2dy2dx.
4. Hitung parameter
p0=2dydx
5. Untuk setiap xk sepanjang jalur garis, dimulai dengan k=0,
Bila pk < 0, maka titik selanjutnya adalah (xk+1,yk), dan pk+1=pk+2dy Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah(xk+1, yk+1), dan pk+1=pk+2dy
2dx.
6. Ulangi langkah nomor 5 untuk menentukan posisi pixel selanjutnya, samapai
x=x1 dan y=y1.
Contoh Prosedur algoritma Bressenham untuk menggambar garis dari titik (10,10)
ke (500,10).
uses graph,crt;
{tambahkan pada bagian ini prosedur penginisialisasian device,
lihat pada bab 1}
procedure DrawBressLine(xa,ya,xb,yb:integer);
var
dx,p,dy,xEnd:integer;
x,y:real;
begin
dx:= abs(xb-xa);
dy:= abs(yb-ya);
p:=2*dy-dx;
if xa > xb then
begin
x:=xb;
y:=yb;
xEnd:=xa;
end
else
begin
x:=xa;
y:=ya;
xEnd:=xb;
end;
putPixel(round(x),round(y),30);
while x < xEnd do
begin
x:=x+1;
if p < 0 thenp:=p+(2*dy)
else
begin
y:=y+1;
p:=p+(2*(dy-dx));
end;
putPixel(round(x),round(y),30);
end;
end;
begin
init;
DrawBressLine(10,10,500,10);
readkey;
destroy;
end.
4. Algoritma Pembentuk Lingkaran
Secara umum prosedur pembentuk lingkaran dibuat dengan rumus dasar
x2+y2=R2. Terdapat beberapa cara untuk membentuk suatu lingkaran namun tidak
efisien. Lingkaran dapat dibuat dengan menggambarkan seperempat lingkaran karena
bagian lain dapat dibuat sebagai bagian yang simetris.
a. Algoritma Simetris delapan titik
Pada algoritma ini pembuatan lingkaran dilakukan dengan menentukan satu titik
awal. Bila titik awal pada lingkaran(x,y) maka terdapat tiga posisi lain, sehingga
dapat diperoleh delapan titik. Dengan demikian sebenarnya hanya diperlukan
untuk menghitung segmen 45’ dalama menentukan lingkaran selengkapnya.
Dengan titik pusat lingkaran tertentu, delapan titik simetris dapat ditampilkan
dengan prosedur Circle Point Sebagai berikut:
procedure CirclePoints(x, y, value:integer);
begin
putPixel(x,y,value);
putPixel(-x,y,value);putPixel(x,-y,value);
putPixel(-x,-y,value);
putPixel(y,x,value);
putPixel(-y,x,value);
putPixel(y,-x,value);
putPixel(-y,-x,value);
end;
b. Algoritma Lingkaran Midpoint
Algoritma Lingkaran Midpoint juga disebut algoritma lingkaran
Bressenham. Bressenham mengembangkan generator lingkaran yang cukup efisien.
Algoritma yang digunakan membentuk semua titik berdasarkan titik pusat dengan
penambahan semua jalur sekeliling lingkaran. Algoritma ini diturunkan dari algoritma
Midpoint untuk pembentukan garis. Dalam hal ini hanya diperhatikan bagian 45’ dari
suatu lingkaran, yaitu oktan kedua dari x=0 ke x=R/√2, dan menggunakan CirclePoints
untuk menampilkan titik dari seluruh lingkaran.
Langkah langkah untuk membentuk lingkaran algoritma Circle Midpoint:
1. Tentukan radius r dengan titk pusat lingkaran(xc,yc) kemudian diperoleh
(x0,y0)=(0,r)
2. Hitung nilai dari parameter
P0=5/4r
3. Tentukan nilai awal k=0, untuk setiap posisi xk berlaku sebagai berikut:
o Bila Pk< 0, maka titik selanjutnya adalah (xk+1,yk))dan
Pk+1=Pk+2xk+1+1
Bila tidak, maka selanjutnya adalah(xk+1,yk1), dan Pk+1=Pk+2xk+1+1
2yk+1
Dimana 2xk+1=2xk+2 dan 2yk+=2yk2
4. Tentukan titik simetris pada ketujuh oktan yang lain5. Gerakkan setiap posisi pixel(x,y) pada garis melingkar dari lingkaran dengan
titik pusat (xc,yc) dan tentukan nilai koordinat:
x=x+xcy=y+yc
6. Ulangi langkah ke3 sampai 5, sehingga x>=y
Contoh algoritma lingkaran midpoint
Untuk menggambarkan algoritma Bressenham dalam pembentukan suatu
lingkaran dengan titik pusat (0,0) dan radius 10, perhitungan berdasarkan pada oktan dari
kuadran pertama di mana x=0 sampai x=y. Nilai parameter dapat ditentukan dengan
P0=1r =110=9
Koordinat titk awal adalah(x,r)=(0,8).
Prosedur algoritma lingkaran midpoint
Input yang digunakan pada prosedur ini adalah koordinat titik pusat dan radius
lingkaran. Posisi pixel ditentukan dengan rutin setPixel.
uses graph,crt;
{tambahkan pada bagian ini prosedur penginisialisasian device,
lihat pada bab 1}
procedure circlePlotPoints(xCenter,yCenter,x,y:integer);
begin
putPixel(xCenter+x, yCenter+y,30);
putPixel(xCenter-x, yCenter+y,30);
putPixel(xCenter+x, yCenter-y,30);putPixel(xCenter-x, yCenter-y,30);
putPixel(xCenter+y, yCenter+x,30);
putPixel(xCenter-y, yCenter+x,30);
putPixel(xCenter+y, yCenter-x,30);
putPixel(xCenter-y, yCenter-x,30);
end;
procedure circleMidPoint (xCenter,yCenter,radius:integer);
var
x,y,p:integer;
begin
x:=0;
y:=radius;
p:=1-radius;
circlePlotpoints(xCenter,yCenter,x,y);
while x<y do
begin
x:=x+1;;
if p<0 then
p:=p+(2*x+1)
else
begin
y:=y-1;
p:=p+(2*(x-y)+1);
end;
end;
circlePlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);
end;
begin
init;
circleMidPoint(100,100,90);
readkey;
destroy;
end.
5. Algoritma Pembentukan Elips
Elips merupakan modifikasi dari bentuk lingkaran, dengan memasukkan mayor
dan minor axis pada prosedur lingkaran. Elips ditentukan oleh satu set titik denganmemperhitungkan jumlah jarak dari kedua posisi(foci). Bla jarak ke kedua foci dari
sembarang titik p(x,y) pada elips diberi label d1 dan d2, maka persamaan elips menjadi
d1+d2=konstan
Untuk menggambarkan jarak d1 dan d2 dengan ketentuan koordinat masing masing
F1(x1,y1) dan F2(X2,Y2)
√((xx1)2+(yy1)2)2+√((xx2)2+(yy2)2=konstan
Dimana mayor dan minor axis elips dalam posisi pararel dengan sumbu x dan sumbu y
pada contoh ini, parameter rx disebut semi major axis dan ry disebut semi minor axis,
sehingga persamaan elips dengan parameter rx dan ry menjadi
((xrc)/rx)2 + ((yyc)/ry)2=1
Algoritma elips Midpoint
Untuk algoritma pembentukan elips, pendekatan yang dilakukan sama dengan
penggunaan pada saat menampilkan lingkaran. Dengan parameter untuk elips pada posisi
standar, yaitu rx, ry, dan(xc,yc). Bila elips ditampilkan pada posisi standar, maka dapat
dilakukan dengan memutar elips tersebut menurun koordinat titik pusat, dan
mendapatkan kembali mayor dan minor axis.
Metode midpoint untuk elips dijalankan pada kuadran pertama dalam dua bagian.
Bagian pertama menrut kemiringan elips rx<ry. Penambahan dengan unit step pada arah
sumbu x dilakukan bila slope lebih kecil dari 1, dan dengan unit step menurut sumbu y
bila kemiringan lebih besar dari 1.
Bagian 1 dan 2 dapat digunakan untuk bermacam macam cara. Pertama dimulai
dari posisi (0,ry) dan step searah jarum jam sepanjang jalur elips pada kuadran pertama.
Pergeseran dengan unit step dalam x pada saat slope lebih besar dari 1.
Alternatif lain, dimulai dari (rx,0) dan seleksi titik dalam arah berlawanan dengan
arah jarum jam. Penggeseran unit step y ke unit step x pada saat kemiringan lebih besar
dari 1. dengan prosesor pararel, posisi pixel dapat dihitung dalam dua bagian sekaligusPembentukan elips menurut algoritma Circle midpoint sebagai berikut:
1. Tentukan rx,ry dan pusat elips (xc,yc) kemudian diperoleh
(xo,yo)=(0,ry)
2. Hitung nilai parameter
P10=ry
2
rx
2
ry+1/4 rx
2
3. Tentukan nilai awal k=0, untuk setiap posisi xk berlaku sebagai berikut :
Bila p1k< 0 maka titik selanjutnya adalah (xk+1, yk)
p1k+1=p1k+2ry
2
xk+1+ry
2
Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah (xk+!,yk1) dan
p1k+1=p1k+2ry
2
xk+12rx yk+1+ry
2
dengan
2ry
2
xk+1=2ry
2
xk +2ry
2
Dan
2rx yk+1=2rx
2
yk +2rx
2
Teruskan sampai 2ry
2
x >= 2rx
2
y
4. Tentukan nilai parameter pada bagian kedua menggunakan titik terakhir (x0,y0)
yang telah dihitung pada bagian pertama, sebagai berikut
P
2
k+1=2ry
2
(xo+1/2)2
+2rx
2
(yo1)2
rx
2
ry
2
5. Setiap posisi yk pada bagian kedua, dimulai dengan k=0
Bila p2k> 0 maka titik selanjutnya adalah (xk, yk1)
p2k+1=p2k+2rx
2
yk+1+rx
2
Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah (xk+1,yk1) dan
p2k+1=pk+2ry
2
xk+12rx yk+1+ry
2
6. Tentukan titik simetris pada ketiga kuadran lainnya7. Gerakkan setiap posisi(x,y) pada garis melingkar dari elisp dengan titik
pusat(xc,yc) dan tentukan nilai koordinat
x=x+xc y=y+yc
8. Ulangi langkah untuk bagian pertama di atas, sehingga 2ry
2
x >= 2rx
2
y
Contoh algoritma elips Midpoint
Untuk menggambarkan algoritma midpoint dalam pembentukan elips dengan titik
pusat(0,0) dan mayor axis rx=6, serta minor axis ry=8, perhitungan berdasarkan pada
kuadran pertama sebagai berikut:, nilai parameter dapat ditentukan
2ry
2
x=0
2ry
2
x=2rx
2
ry
p1o= ry
2
+ rx
2
ry 1/4 rx
2
=215
Koordinat titik awal (x,r) =(0,8)
Koordinat titik awal (x,r) =(0,8)
Prosedur algoritma elips Midpoint
Prosedur berikut menampilkan posisi pixel pada monitor dengan algorima
Midpoint. Input yang digunakan adalah koordinat titik pusat mayor axis, dan minor axis.
Posisi pixel ditentukan dengan rutin setPixel.
uses graph,crt;
{tambahkan pada bagian ini prosedur penginisialisasian device,
lihat pada bab 1}
procedure elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y:integer)
begin
putPixel(xCenter+x, yCenter+y,30);
putPixel(xCenter-x, yCenter+y,30);
putPixel(xCenter+x, yCenter-y,30);
putPixel(xCenter-x, yCenter-y,30);
end;
procedure elipsMidPoint(xCenter,yCenter,Rx, Ry:integer);
var
Rx2,Ry2,x,y,twoRx2,twoRy2,py,px,p:integer;
begin
Rx2:=Rx*Rx;
Ry2:=Ry*Ry;
x:=0;
y:=Ry;
twoRx2:=2*Rx2;
twoRy2:=2*Ry2;
px:=0;
py:=twoRx2*y;
elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);
//bagian1
p:=round(Ry2-(Rx2*Ry)+(0.25*Rx2));
while px<py do
begin
x:=x+1;
px:=px+twoRy2;
if p<0 then
p:= p+(Ry2+px)
else
beginy:=y-1;
py:=py-twoRx2;
p:=p+(Ry2+px-py);
end;
elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);
end;
//bagian 2
p:=round(Ry2*(x+0.5) *(x+0.5)+Rx2*(y-1) *(y-1)-Rx2*Ry2);
while y>0 do
begin
y:=y-1;
py:=py-twoRx2;
if p>0 then
p:=p+(Rx2-py)
else
begin
x:=x+1;
px:=px+twoRy2;
p:=p+Ry2+px-py;
end;
elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);
end;
end;
begin
init;
elipsMidPoint(130,120,120,190);
readkey;
destroy;
end.
6. Fill area primitive
Terdapat dua dasar pendekatan untuk mengisi area pada raster system. Pertama,
menentukan overlap internal untuk scan line yang melintasi area. Metode lain yaitu
dengan memulai dari titik tertentu pada posisi di dalam polygon dan menggambar
dengan arah menyebar ke pinggir, sampai batas polygon.
1. Algoritma scan lineTitik potong diurutkan dari kiri ke kanan. Posisi yang berhubungan pada
frame buffer antara sepasang titik potong diberi warna tertentu. Posisi empat
pixel sebagai titik potong antara garis batas polygon ditentukan oleh dua buah
pixel pada koordinat darri x=8 ke x=13 dan dari x=23 ke x=34
2. Algoritma boundary fill.
Metode ini bermanfaat untuk paket aplikasi grafik interaktif dimana titik
dalam dapat dengan mudah ditentukan. Prosedur boundary fill menerima inout
koordinat suatu titik(x,y), warna isi dan garis batas. Dimulai dari titik (x,y),
prosedur memeriksa posisi titik tetangga, yaitu apakah merupakan warna batas.
Bila tidak, maka titik tersebut digambar dengan warna isi. Proses ini dilanjutkan
sampai semua titik pada batas diperiksa. Prosedur berikut menampilkan metode
rekursif mengisi 4 bidang dengan intensitas pada parameter fill.
procedure boundaryFil( x,y,fill,boundary:integer);
var
current:integer;
begin
current:= getPixel(x,y);
if (current <> boundary) and (current <> fill) then
begin
putPixel(x,y,fill);
boundaryFill(x+1,y,fill,boundary);
boundaryFill(x-1,y,fill,boundary);
boundaryFill(x,y+1,fill,boundary);
boundaryFill(x,y-1,fill,boundary);
end;
end;
3. Algoritma flood fill
Pendekatan lain untuk mengisi suatu bidang polygon adalah algorima
flood fill. Metode ini dimulai pada titik (x,y) dan mendefinisikan seluruh pixel
pada bidang tersebut dengan warna yang sama. Bila bidang yang akan diisiwarna memiliki beberapa warna. Pertama tama yang dibuata adalah membuat
nilai pixel baru, sehingga smua pixel memiliki warna yang sama. Prosedur
berikut menggambarkan metode floodfill untuk mengisi warna suatu polygon.
procedure floodFill( x,y,fillColor,oldColor:integer);
begin
if getPixel(x,y) = oldcolor then
begin
putPixel(x,y,fillcolor);
floodFill(x+1,y , fillColor, oldColor);
floodFill(x-1,y , fillColor, oldColor);
floodFill(x,y+1 , fillColor, oldColor);
floodFill(x,y-1 , fillColor, oldColor);
end;
end;
sumber :http://kleq.web.ugm.ac.id/images/Algoritma%20Pembentuk%20Lingkaran.pdf
sumber :http://kleq.web.ugm.ac.id/images/Algoritma%20Pembentuk%20Lingkaran.pdf
